静—— 整个教室里一片安静！ 随即，无数道目光齐刷刷地投向后排。 “林枫？卧槽！这不是被罚写论文的林枫吗？” “他刚刚说什么？他想试试这道题？” “不是吧，宋清歌都没答出来，他还想试试？” “疯了吧？搞笑呢？” …… 震惊！ 疑惑！ 讥讽！ 议论声此起彼伏。 原因无他，林枫这个名字平常在数应班里实在是和学习连不到一块去，就没听说过在学习方面有什么能力。 更别提，昨天逃课还被抓了！ 就这种，能答出来这道连学霸宋清歌都不会的高数题？ 不可能的！ 开什么玩笑！ 旁边的陈坤直接石化，翻课本的姿势保持的一动不动，“枫……枫哥……你干嘛呢……” 林枫又没搭理他。 台上的张洪涛也有些愣住了。 学生们的讨论他听得很清楚，这个举手的男生叫林枫。 正是他昨天窥群看到“数应一班”班群里被老王抓住逃课罚写论文的两个学生其中之一。 当时他还在想，将来自己抓住逃课了的，要不要也来上这一波，没想到，今天就见到了当事人，并且还要回答自己出的这道难题？ 这…… 可能吗？ 还是那句话，平常逃课的学生真是因为知识点都会了才逃课？ 那都是不想上课才逃课的！ 哪有什么知识点都会的“天才”？ 不过，这也不是绝对的，985、211的学生或许可以做到，但在江阳师范…… 那绝对不可能的！ 所以，对于林枫想试试这道题这件事，张洪涛并不看好。 但他还是把林枫请了上来：“林枫同学是吧？既然你想试试，那就上来吧。” 说着，往旁边让了让，把讲台和黑板的位置腾了出来。 林枫站了起来，正要往外走，陈坤却一把拽住了他的衣角，声音颤抖地说道：“枫哥！我不知道你被什么玩意附身了！但你要想清楚，你要是上去答不出来，那可真的是要更丢人了！” “没事，放心吧。” 林枫摇摇头，把衣角从陈坤手里抽了出来，大步走上讲台。 很快，便站在了黑板前，但他并没有立马开始解题，反而转头认真确认道： “老师，你前面说的是真的？只要写出来这道题平时分就可以得满分？” “当然！我说话算数！” 张洪涛很是肯定地说道。 “嗯！那就好！” 林枫重重点了点头。 还是那句话，只要平时分满分，期末高数这门课随便考都能过，都不会挂科的。 高数这门课一过关，期末其他科目的压力也会小很多，挂科的概率也会随之减少。 只要不挂科，就不会堵死考选调生的这条路。 而这，也正是他上台的原因。 说罢，他不再犹豫，拿起粉笔直接开写，抬手便写下了第一行式子： y₁=0 边写边讲道： “首先，y恒等于0，是这个方程的一个解，满足初始条件y(0)=0，这个很显然。” “然后，用分离变量法。” 粉笔在黑板上快速移动，发出咔咔的响声。 dyy^(23)=dx 两边积分。 3y^(13)=x+C 代入初始条件y(0)=0，得C=0。 所以y=(x3)³。 即： y₂=(x3)³ “这是第二个解，同样满足初始条件y(0)=0。” 写到这里，台下众人还没太大反应，议论声依旧。 毕竟这两步，刚才宋清歌已经说过了，不算稀奇。 真正难的还在后面！ “所以，现在问题来了，为什么这个方程会有两个解？” “根据常微分方程的唯一性定理——皮卡-林德洛夫定理，如果函数f(x，y)在某个区域内关于y满足利普希茨条件，那么初值问题的解是唯一的。” 他说着，在在黑板上写下了利普希茨条件的表达式： |f(x，y₁)-f(x，y₂)|≤L|y₁-y₂| “在这道题里，f(x，y)=y^(23)。” “我们来检验它是否满足利普希茨条件。” 粉笔继续移动。 “对f关于y求偏导：∂f∂y=(23)·y^(-13)” 他在这个式子下面重重地画了一道横线。 “当y趋近于0的时候，这个偏导数趋近于无穷大。” “也就是说，在y=0这个点的邻域内，f(x，y)关于y的利普希茨条件不成立。” “唯一性定理的前提条件不满足，所以唯一性无法保证。” “这就是为什么这个方程在初始条件y(0)=0处，可以同时存在y₁=0和y₂=(x3)³两个解。” 说完，他转过身，放下粉笔，拍了拍手上的粉笔灰。 整个过程很快，短短几分钟，一个完整又严密的推导过程便铺满整个黑板。 教室里再也没有议论声了。 极其安静！ 一片死寂！ 几乎所有学生都瞪大了眼睛，死死盯着讲台上林枫的身影。 前排的宋清歌，手中的笔也悬在了半空中，半天没有落下。 陈坤更是来了一句国粹：“卧槽！枫哥真的会？” 难以置信！ 难以置信！ 这道连高考数学138分学霸都不会的高数题，竟然被一个逃课的林枫如此轻松地解决了？ 就像做小学数学题一般？ 这简直是太不可思议了！ 而且—— 这用的是什么？ 利普希茨条件？ 这是什么东西？ 怎么没有听过？ 讲台上，张洪涛看了一遍又一遍黑板上的推导过程，久久不语。 从分离变量法到皮卡定理，再到利普希茨条件的验证，整个推导逻辑很是严密，步骤也非常完整，找不出一丝毛病。 但关键问题是，利普希茨条件是个超纲的知识点，大一上根本不会学的，这个定理到大一下常微分方程里面才会讲到。 包括皮卡存在唯一性定理，也是那时候才会有的。 “林枫？” “嗯？” “利普希茨条件和皮卡存在唯一性定理，这些内容我在课上从来没有讲过，属于超纲知识点。” 张洪涛语速很慢，像是在确认什么。 “你是怎么知道的？” 此话一出，全场瞬间屏住呼吸。 是啊，既然这些都是超纲知识点，这个林枫是怎么知道的？又是怎么写出来的？ “自学的。” 林枫神色平静。 其实，之所以他知道这些，还是因为昨晚上研究数分课后题查资料的时候看到的，并且还用了半个小时的时间给吃透了。 “自学的？” 张洪涛眉头微微皱了一下。 “嗯，昨晚看书的时候翻到的，觉得挺有意思，就多看了一些。” 他的声音很淡，却在教室里掀起了惊涛骇浪。 自学的？ 觉得有意思多看了一些？ 没听错吧？ 没搞错吧？ 一个逃课被抓的学生，竟然因为觉得有意思，所以熬夜自学超纲高数知识？ 不是…… 这说出去谁信啊！ 他们只觉自己在听天方夜谭。 包括讲台上的张洪涛。 说实话，他也不相信。 当然，自学这种事，在好一点的大学里不算稀奇。 他当年读书的时候，同届就有人在大一把大学四年课程都给自学完的。 但那是985，这里是江阳师范！ “你真觉得这些有意思？” 他忽然问了一句。 “嗯，真有意思。” 林枫淡淡答道。 对于昨天夜里到今天早上都在疯狂学习这件事，他认为没有说的必要，还不如直接说是因为感兴趣，这样还会减少很多不必要的麻烦。 听到这个回答，张洪涛沉默了几秒，紧接着再次看向黑板，把林枫写的那些推导过程仔仔细细又看了一遍。 逐行逐字检查。 教室里更安静了，所有人都在等着，等着张洪涛下定义。 大概过了一分多钟，张洪涛从黑板前退了一步。 “没问题，利普希茨条件用的很好，推导是正确的。” “能看得出来，你对利普希茨条件掌握的很熟练了。” 嘶—— 话音一落，教室里顿时响起一片倒吸凉气的声音。 没问题？ 正确的？ 掌握很熟练？ 连张洪涛都确认了？ 这还是那个逃课被抓的林枫吗？ 就连台下的宋清歌，看着林枫眼神也变了。 这和之前抄她作业的林枫，简直判若两人！ “不过——” 就在这时，张洪涛突然话锋一转。 “林枫，你用的这些东西，皮卡定理也好，利普希茨条件也好，确实是正确的解法。” “但这些内容对于在座的同学们来说太超前了，他们现在根本没学过。” 林枫点了点头，没说话，等着张洪涛的下文。 “所以我想问你一个问题。” 张洪涛转过身，面对林枫。 “你能不能不用这些超纲的知识，只用你们目前学过的知识，把这道题"为什么解不唯一"这件事，给在座的同学讲明白？” 不用超纲定理把这道题讲明白？ 这个要求一出来，全场都懵了。 刚刚林枫的推导过程也变相证明了这道题就是利用“利普希茨条件”这个超纲知识点的一道练习题。 如果不用这个，那还能怎么用？ 这不好比原本1+2=3，变成了先算1+1=2，再算1+1+1=3吗？ 这个要求，确实有点太难了。 就连宋清歌，也是半天没反应过来。 这还能讲？ “不是，我怎么感觉老张不对劲呢？他为什么要故意刁难啊？你们说，他是不是在怀疑什么？” “嘶！你这一说还真有可能，是不是老张认为这道题不是林枫自己写的，是以前在哪看到过这道原题，背了个答案上来抄的？” “卧槽！有没有可能是刚刚用手机搜的？为了拿平时分所以上去装逼的？” “有可能，真有可能！” …… 慢慢的，这些质疑声越来越大。 因为人的第一反应永远是：凭什么？ 凭什么一个逃课的人能做出宋清歌都不会的题？ 最合理的解释就是：他提前看过这道题的答案。 陈坤在底下听到这些话，攥紧了拳头，嘴唇动了动，想替林枫说两句。 但他张了半天嘴，又闭上了。 因为说实话，连他自己都有点怀疑了。 而林枫也听到了这些质疑声，但依旧没有放在心上，反而再次开口问道： “张老师，是不是如果我讲不出来，那么我的平时分还是没有办法满分？” “没错。” 张洪涛点了点头，目光紧盯着林枫。 写题之前问这个问题就算了，怎么现在又问一遍这个问题？ 好像…… 这个学生很在乎平时分？ 按理说，能学到利普希茨条件的学生，不应该担心挂科吧？ 难道真是提前看过答案了？ 而听到他的回答，林枫再次思考了起来。 不用超纲定理，只用现有知识去解释解的非唯一性，这样才能拿到平时分满分？ 他在脑子里快速过了一遍。 利普希茨条件不让用，皮卡定理不让用，那能用什么？ 他低头看了一眼黑板上自己写的那些东西，突然，脑海里像是有一道灵光闪过，紧接着，视线便停在了一个地方。 ∂f∂y=(23)·y^(-13) 当y趋近于0时，偏导趋于无穷。 这个偏导趋于无穷意味着什么？ 意味着函数f(x，y)=y^(23)在y=0附近变化得“太剧烈”了。 而变化太剧烈…… 他的脑海里立马蹦出来两个字——斜率。 对！ 斜率！ 这是张洪涛前两节课刚讲过的内容。 微分方程y"=f(x，y)的几何意义：在每个点(x，y)处，f(x，y)给出了解曲线在该点的斜率，把所有这些斜率画出来，就可以直观地看出解曲线的走向。 并且，这也没有超纲，就是课堂上讲过的东西。 怪不得张洪涛会出这道题，怪不得他说这道题用现有的知识也能解决，原来问题在这儿。 不过，这也多亏了“数学思维强化”的能力。 想到这，他没有任何犹豫，拿起一根新的粉笔，直接就要开写。 并且，边写边说道： “可以的，张老师，我想……” “或许可以用斜率来证明这道题。”