等到掌声渐渐停歇下来，李庆国端着搪瓷杯从讲台侧面走上来，看了眼韩川，笑着夸赞了一句。 “讲得不错！” 说完，他转身面对教室中数学分析研讨班的学生：“刚刚韩川的报告里，有没有没听懂的同学，现在可以举手提问了。” 话音落下，教室里瞬间举起了五六只手。 李庆国教授扫了眼，笑着看向韩川。那意思很明显，交给你了。 韩川倒也没在意，点点头，直接挑了一个前排将手举得老高的学生。 从发型来看，这是个数学领域的强者！ 这个还未毕业，就已然半秃的博士生师兄站起来，盯着黑板上的算式推了推鼻梁上的眼镜开口问道： “我想问一下，你在非自反空间的推广中用对偶基分解时，隐式地假设了对偶空间是可分的。如果原空间本身不可分，对偶基的存在性如何保证？” 教室里安静了一瞬。 这个问题很显然比之前和Fre标架相关的问题更刁钻。 因为它直接戳中了论文最深层的技术难点，对偶基在不可分空间中的构造。 讲台上，韩川没有立刻回答。 他拾起黑板刷将身后几乎写满了的黑板擦出来一部分干净的区域，然后落下了一行粉笔字。 “设X为Banach空间，X为其对偶空间。若X可分，则单位球B_{X}在拓扑下是紧度量空间。” 随即，他转身看向站起来的博士生，笑道：“师兄说得对，如果去掉可分性，对偶基的构造就会失效。这是整片论文中的核心难点之一。” 说着，他继续在黑板上写道：“但这个问题并非不可解决。” 【设{E_α}_{α∈I}为X的不可分闭子空间族，满足E_α在X中稠密，且每个E_α可分。由Hahn-Banach定理，限制映射R_α:X→E_α是满射。】 【取π_α:E_α→E_α为投影算子，定义φ_α=π_α∘R_α。则族{φ_α}构成X上的一个“局部对偶框架”。】 【......那么，在不可分Banach空间上，控制列框架的成立等价于存在一族可分闭子空间，其并稠密，且控制列在每个子空间上一致收敛！】 手中的粉笔落下最后一个符号，韩川转身看向这位提问的博士学长，笑着开口道。 “懂了吗？” 教室中，提问的博士生盯着黑板上的算式看了好一会，才缓缓点了点头，坐了下去。 很快，在这位博士生坐下去后，教室中又一只手臂举了起来。 “非自反空间的推广那一步，你用Banach-Steinhaus定理保证了范数一致有界性。但Banach-Steinhaus定理的前提是"逐点有界"。这个"逐点有界"的条件，你是怎么从前面的假设里导出来的？” 韩川转过身，拿起粉笔，在黑板上写下了两行推导。 “原函数列{fₙ}一致收敛，意味着对每个x∈E，{fₙ(x)}是一个收敛数列。收敛数列必有界，所以存在一个常数M_x，使得对所有n，|fₙ(x)|≤M_x。” “用这个M_x构造对偶基的逐点有界性，再用Banach-Steinhaus导出范数一致有界。逻辑链条是：一致收敛→逐点有界→范数一致有界→控制列存在。” “明白了吗？” ..... 提问还在继续。 一个接一个的问题被抛过来，韩川一个接一个地回答。 从Banach空间的自反性讨论到控制列的构造唯一性，从Fre标架的退化条件追问到狄利克雷判别法的边界情形。 一堂课，将近五十分钟的时间渐渐过去。 讲台上，韩川的嗓子已经有些沙哑了，但眼睛却很亮。 看了下时间后，李庆国教授端着搪瓷杯重新走上讲台，目光扫了一圈台下的学生，语气里带着不加掩饰的欣慰。 “怎么样，服了吗？” 这话一出，教室中顿时响起一阵哄笑声。 “服了！” “牛逼！” 有人在大喊"服了"，也有人在高喝"牛逼"，还有人从兜里掏出了手机，对准讲台上的韩川和身后的黑板开始拍照。 李庆国环顾了一圈台下的学生，笑着开口道：“今天的讨论班就到这里，韩川同学的报告你们可以慢慢消化。” “对了，他的论文预计下个月就会刊登在SIMA最新一期的刊文上，感兴趣的同学可以下载看看。” ...... 讨论班散场后，学生们陆陆续续离开了教室。 教室中，那个第一个提问，穿格子衫的博士生走到讲台前，朝韩川伸出了手。 “丁兆丰，李教授带的博二。” 他推了推眼镜：“导师昨天给我看了一下你那篇论文，比我博士开题报告的水准高很多！” 韩川笑着伸出手：“谢谢，我也只是机缘巧合下获得的灵感而已。” 丁兆丰摇摇头，语气很是认真地说道：“数学从来都不讲运气，灵感是灵感，但是要将灵感转变成论文解决实际问题只能靠本事。” 说着，他自嘲的笑了笑，补了一句：“我要是有你这本事，也不至于研究方向一直卡着了。” 韩川笑了笑，随口问了一句：“丁师兄的博士研究方向是什么？” 丁兆丰笑着道：“我的研究方向和导师的类似，数学分析和解析数论领域的东西。” 停顿了一下，他补充道：“准确地来说，是在做"维诺格拉多夫三素数定理中充分大下界的数值改进"。” 说到这，他摇了摇头，叹息道：“可惜的是，目前我还没什么进展。” 听到这，韩川的目光微微动了一下。 对于这个研究方向，他再熟悉不过了。 维诺格拉多夫的三素数定理是弱·哥德巴赫猜想（任一大于5的奇数可表为三个素数之和）的“前身”。 但维诺格拉多夫只证明了对于“充分大”的奇数成立，而将这个"充分大"的具体界限算出来，是证明完整哥德巴赫猜想的必经之路。 目前来说，这个研究方向最前沿的成果还是2002年刘建亚与王天泽两个华国数学家做出来的。 他们在一篇长达40多页的论文中，通过精密的区间划分、改进的指数和估计以及显式的误差项，首次在不依赖任何未证明猜想（如广义黎曼猜想）的前提下，将常数降至e³¹⁰⁰大小。 相比此前由陈景润和王天泽在1989年得到的e⁴³⁰⁰⁰来说，是一次数量级上的巨大飞跃。 而在另一个时空中，华罗庚老先生已经将这个问题解决了。 ...... PS：三更求月票求推荐票求追读求评论~